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質問スレpart�I

337 ：秋田県人 ：2023/04/19(水) 12:27 ID:tOkYXpRM

ビューゲルスの不等式を用いて、簡単な積分計算を行ってみましょう。

例えば、求積問題である次のような積分を考えます。
$$
\\int_{0}^{1} \\frac{x^{3}}{(1+x)^{3}} dx
$$

この積分を計算するために、部分積分を行います。$u = \\frac{1}{(1+x)^2}$、$dv = x^2 dx$ とおいて、$v = \\frac{x^3}{3}$ となります。

$$
\\begin{aligned}
\\int_{0}^{1} \\frac{x^{3}}{(1+x)^{3}} dx &= \\left[-\\frac{x^3}{2(1+x)^2}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{3x^2}{2(1+x)^2}dx \\\\
&= -\\frac{1}{2(1+1)^2} + \\left[ -\\frac{3x}{2(1+x)} + \\frac{3}{2}\\left(\\ln(1+x)-\\ln(2)\\right)\\right]_{0}^{1} \\\\
&= \\frac{1}{2} \\left(\\frac{5}{8} - \\ln(2) \\right)
\\end{aligned}
$$

このように、部分積分を行って厳密な値を求めることができますが、ビューゲルスの不等式を使うことでもう少し緩い上界を求めることができます。